\documentclass[twoside,a4paper]{article}
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% some common command
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\newcommand{\avg}[1]{\left\langle #1 \right\rangle}
\newcommand{\difFrac}[2]{\frac{\dif #1}{\dif #2}}
\newcommand{\pdfFrac}[2]{\frac{\partial #1}{\partial #2}}
\newcommand{\OFL}{\mathrm{OFL}}
\newcommand{\UFL}{\mathrm{UFL}}
\newcommand{\fl}{\mathrm{fl}}
\newcommand{\op}{\odot}
\newcommand{\Eabs}{E_{\mathrm{abs}}}
\newcommand{\Erel}{E_{\mathrm{rel}}}

\newtheorem{Theorem}{定理}[section]
\newtheorem{Definition}{定义}[section]
\newtheorem{Lemma}{引理}
\newtheorem{Corollary}{推论}

\newcounter{comment}[section]

\title{第三章理论作业1-4题}
\author{陈楚文}
\date{\today}
\begin{document}
\maketitle

\begin{enumerate}
    \item 第一题：由$p(1)=s(1),p'(1) = s'(1),p''(1) = s''(1)$列出差商表如下：
    \begin{table}[htbp]
        \centering
        \begin{tabular}{r|lccc}
            0 & 0 \\
            1 & 1 & 1 \\
            1 & 1 & -3 &-4 \\
            1 & 1 & -3 & 3 & 7 \\
        \end{tabular}
    \end{table}
    \newline
    于是$p(x)=x-4x(x-1)+7x(x-1)^2=7x^3-18x^2+12x$.因为$s''(0) \ne 0$,所以不是自然样条插值。
    \item 第二题：
    \begin{enumerate}
        \item 对于每个内点$x_i(i=2,\ldots,n-1),$有$s_{i-1}(x_i)=s_i(x_i),s_{i-1}'(x_i)=s_i'(x_i)$两个条件
    而对于每个点$x_i(i=1,\ldots,n)$又有$s(x_i)=f(x_i)$.因此一共有$2(n-2)+n=3n-4$个条件，而在每个区间$[x_i,x_{i+1}]$
    上的二次函数有三个未知量，一共有$3n-3$个未知量，因此缺少一个方程，增加一个额外的条件再由引理3.7就能确定样条函数的唯一性。
        \item 列出差商表如下：
        \begin{table}[htbp]
            \centering
            \begin{tabular}{r|lcc}
                $x_i$& $f_i$ \\
                $x_i$ & $f_i$ & $m_i$ \\
                $x_{i+1}$ & $f_{i+1}$ & $\tfrac{f_{i+1}-f_i}{x_{i+1}-x_i}$ & $\tfrac{f_{i+1}-f_i-m_i(x_{i+1}-x_i)}{(x_{i+1}-x_i)^2}$ \\
            \end{tabular}
        \end{table}
        \newline
        则$p_i(x)=f_i+m_i(x-x_i)+\tfrac{f_{i+1}-f_i-m_i(x_{i+1}-x_i)}{(x_{i+1}-x_i)^2}(x-x_i)^2$.
        \item 由(b)已知$p_i$的表达式，再由关系$p_{i-1}'(x_i)=p_i'(x_i)$,得到$m_{i-1}+m_i=2\tfrac{f_i-f_{i-1}}{x_i-x_{i-1}},\quad i=2,\ldots,n-1$,代入$m_1=f'(a)$,可以依次得到$m_2,\ldots,m_{n-1}$
    \end{enumerate}
    \item 第三题：
        $s_2(0)=s_1(0),s_2('0)=s_1'(0),s_2''(0)=s_1''(0)$ 又因为$s$是自然样条，所以有$s_2''(1)=0$,令$s_2(1)=t$,列出差商表如下：
        \begin{table}[htbp]
            \centering
            \begin{tabular}{r|lccc}
                0 & $c+1$ \\
                0 & $c+1$ & $3c$ \\
                0 & $c+1$ & $3c$ & $3c$ \\
                1 & $t$ & $t-c-1$ & $t-4c-1$ & $t-7c-1$ \\
            \end{tabular}
        \end{table}
        \newline 
        则$s_2(x)=c+1+3cx+3cx^2+(t-7c-1)x^3$,$s_2''(1)=6c+6(t-7c-1)=0$,所以$s_2(x)=c+1+3cx+3cx^2-cx^3$.
        代入$s_2(1)=-1$,得到$c=-\tfrac{1}{3}$.
    \item 第四题：
        \begin{enumerate}
            \item $\mu_2=\dfrac{1}{2},\lambda_2=\dfrac{1}{2}$ 求出差商$f[-1,0,1]=-1$ 则$\dfrac{1}{2}M_1+2M_2+\dfrac{1}{2}M_3=6f[-1,0,1]$.
            得到$M_2=-3$,对于$i=1,2$有$s_i(x)=f_i+(f[x_i,x_{i+1}]-\dfrac{1}{6}(M_{i+1}+2M_i)(x_{i+1}-x_i))(x-x_i)+\dfrac{M_i(x-x_i)^2}{2}+\dfrac{M_{i+1}-M_i}{6(x_{i+1}-x_i)}{(x-x_i)}^3$
            所以该自然样条\[s(x) = \left\{
                \begin{array}{cl}
                \tfrac{3(x+1)}{2}-\tfrac{(x+1)^3}{2} & x \in[-1,0] \\
                1-\tfrac{3x^2}{2}+\tfrac{x^3}{2} & x \in[0,1] \\
                \end{array} \right. \]
            \item $\int_{-1}^{1} {s''(x)}^2 \,dx=\int_{-1}^{0} 9(x+1)^2 \,dx+\int_{0}^{1} 9(x-1)^2 \,dx= 6$
            若$g$为以-1，0，1为插值点的插值多项式,$g(x)=-x^2+1, \int_{-1}^{1} {g''(x)}^2 \,dx =8>6$. 
            若$g=f$,则$\int_{-1}^{1} {g''(x)}^2 \,dx=\pi ^4/16\thickapprox 6.09>6$.
        \end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}
